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整数問題とか結構忘れてしまった

突然ですが、

自然数 m, n (ただしm<n)について、
n(n+1) = 2m(m+1)
を満たすm, n の組


について、求めようと思ったんですが、なかなかうまくいきません。

解の1つに、

m=2, n=3


があることや、式変形により、(m,nの直交座標での)

双曲線 8 (m + 1/2)2 - 4 (n + 1/2)2 = 1


上の格子点に相当することまでは分かったんですが、

①解の個数が有限なのか
②解の個数が無限にある場合、各nに対して、mが存在するか、また存在する場合、そのmの値は何かが容易にわかる方法はあるか
についてが謎です。

(mの2次方程式とみなすことにより、「2n2+2n+1 が奇数の2乗になる」という必要十分条件が得られるのですが、これだと解の有限性の判断や、個々の解の導出は困難だと思います。)

別に数学屋さんというわけではないのに、急に気になってしまったわけですが、
だれか、分かる方いらっしゃいませんか?(^^;

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No title

双曲線の漸近線の傾きが有理数なら有限だと思いますが、いかんせん無理数・・・。
この場合「無限かどうか分からない」となりますねぇ。
数論的手法の方が近道かも?
しかし、折角式変形した双曲線を使って解いてみたいところですね。

解決

古い記事にコメント失礼します。
問題が解決しましたので、お知らせします。

問題
★ n(n+1)=2m(m+1) の整数解を全て求めよ

結論
OEISによれば
nはhttps://oeis.org/A001652
mはhttps://oeis.org/A053141
(「Solution to a(a+1)=2b(b+1) in natural numbers including 0」)

過程
辺々4倍して整理することで
(2n+1)^2-2(2m+1)^2=-1
という等式を得る。
これはペル方程式
● x^2-2y^2=-1
の解で、xとyがともに奇数であるものを求めることと同じ。
√2の連分数表示は[1:2,2,2,…]であり、循環節の長さが奇数であるから、●は無限個の解をもつ。
(x,y)=(1,1)は●の自明な解であり、(p,q)が●の解ならば(3p+4q,2p+3q)も解となり、ペル方程式の解はこのように生成されるもので全て。
(解が生成されることは代入して計算すれば明らか。これで全てであることの証明は難しい。詳しくは「連分数 ペル方程式」などで調べてください。参考:http://izumi-math.jp/sanae/MyText/number/number_05.pdf
このように生成される●の解は全て、x,yがともに奇数であることから、★の解(n,m)が1つ対応する。
●の解(p,q)を生成する式を、対応する★の解(n,m)の式で書きなおせば
(3(n+1)+4m , 2(n+1)+3m) となる。


これより★の解は、nが小さい方から
(n,m)=(0,0),(3,2),(20,14),(119,84),(696,492),…となる
n,mの一方がgivenの時に解を持つかどうかの判定は、(x,y)の中に該当するものがあるかどうかでチェックするのが多分一番早いと思います。
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