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どちらが大きい?

なぜか、唐突に数学の問題を書きたくなりました。


まず、nを、n>1をみたす自然数とします。

このとき、
n! (nの階乗) と nn (nのn乗) はどちらが大きいのか?」

といわれたら、それぞれ次のようなn個の積

n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1
nn = n × n × n × … × n × n

で表せます。

たとえば、n=10のときは、

10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
1010 = 10×10×10×10×10×10×10×10×10×10

のようになりますね。

なので、もう、これらの式の形から大小関係が直観で分かるんじゃないかと思いますが、
証明をするとなると,「a < b,0 < c < d ⇒ ac < bd」等の性質を用いて、

 1 < n
⇒ 2×1 < n×n
⇒ 3×2×1 < n×n×n
⇒ 4×3×2×1 < n×n×n×n


⇒ n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1 < n × n × n × … × n × n

と表せるので、

n! < nn

であることが示せます。
(ちなみに、n=1のときは、等号が成立します。)


では、nを、n>2をみたす自然数としたとき、

(n!)2 (nの階乗の2乗) と nn (nのn乗) はどちらが大きいのか?」

といわれたら、どうでしょうか?
「nの階乗の2乗」なんて、そうそう問題に出てきませんが、
例えば,n=5のときは、

(5!)2
=(5×4×3×2×1)2
=1202
=14400

になりますね。


さて、この問題については、n=3,4,...と、具体的にnの値を代入して確かめれば,何となく大小関係が掴めそうです。

しかし、どのようにして、これを証明したらよいのでしょうか?


ということで、解答を受け付けています (^-^;

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No title

回答ここに書いて良いんでしょうか?
あと知識の範囲に制限はありますか?(高校レベルまで等)
多分できたと思います。

Re: No title

> 回答ここに書いて良いんでしょうか?
> あと知識の範囲に制限はありますか?(高校レベルまで等)
> 多分できたと思います。

どうぞ。

問題のレベルは特に考えていませんが,
いちおう高校数学の範囲を想定しています。

No title

n^nと(n!)^2を次のように書き直すと、
n^n = n*n*・・・・・・*n
(n!)^2 = {n*(n-1)*・・・・・・2*1}*{n*(n-1)*・・・・・・*2*1}
= {n*(n-1)*・・・・・・2*1}
*{1*2*・・・・・*(n-1)*n}
= (1*n)*{2*(n-1)}*・・・*{i*(n-(i-1))}*・・・*(n*1)
↑i番目
= Π(1<=i<=n) {i*(n-(i-1))} (Π(1<=i<=n):iが1からnまでの総乗)
となる
i*(n-(i-1))とnの大小関係を調べると
i*(n-(i-1))-n = in-i^2+i-n
= (n-i)i-(n-i)
= (n-i)(i-1) >= 0 (∵n>=i,i>=0)
よって
i*(n-(i-1)) >= n
となるので、
1*n >= n
(1*n)*{2*(n-1)} >= n*n



(1*n)*{2*(n-1)}*・・・*{i*(n-(i-1))}*・・・*(n*1) >= n*n*・・・・・・*n
(n!)^2 >= n^n
が示せた。
といった感じでしょうか?もっと楽にできるかな?

No title

なんか、ずれてますね、綺麗に書けませんでした。すみません

Re: No title

返信遅れましてすみません。
すごく解りやすい丁寧な書き方ですね。

(1*n)
{2*(n-1)}
・・・{i*(n-(i-1))}
・・・
(n*1)

という2数の組み合わせの積をつくるということで、
私が考えていた解法と見事に同じでした。

でも、違いがあるといえば、i*(n-(i-1))とnの大小関係を調べる解法において、
私は,
i*(n-(i-1))-n = in-i^2+i-n を「iの2次関数(上に凸)」とみて、
iの定義域内ですべて値域が0以上(i=0,nだけを代入して0以上であることを導く)ことを示すという方法をとりました。


(n-i)(i-1)という因数分解して正負を調べる、という解法は気づきませんでしたね。
確かに,その方法のほうが解りやすいですね。

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